[고지우] 선생님, 동전의 앞면이 나올 확률은 1/2 인가요??
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스티커 + 점프.pdf
안녕하세요
오르비 클래스
수학강사 고지우입니다.
오늘은 확률에 관한 칼럼을 갖고 왔습니다.
자, 우선 문제 하나 풀어 봅시다.
풀고 마저 읽어 주시면 좋겠네요, 3분쯤 뒤에 보시죠
뿅~~~ (죄송해요...)
당신의 답은 무엇인가요?
혹시 10/81 이 나오셨나요
(괜찮아요, 그래도 당신은 공부를 잘 해오신 겁니다.)
하지만 정답은 두두두둥
30/129=10/43입니다.
이미 눈치를 채신 분도 있으시겠지만 위 문항은 2017년 수능 문항입니다.
통계 문항으로 나왔기에
지금부터 제가 얘기하려는 주제는 당시 수능 문항을 맞추는 데에는 지장이 없었습니다.
하지만 이 문제를 통해 제가 지적하고 싶은 부분은 이것이지요
'위, 사선, 우측 선택의 가짓수가 3가지이니 그 중의 하나를 선택할 확률은 응당 1/3 이구나'
이리 생각하셨나요???
발문 어디에도 세 가지를 선택할 확률이 동일하다는 얘기는 없습니다.
‘아니 무슨 소리요, 그게 당연한 거 아니요’ 라고 하신다면
여러분은 수학적 확률을 공부하시면서
‘각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때~~~’
라는 문장을 보시게 될 겁니다.
(어서 찾아보세요, 어떤 개념서 교과서 이든 간에요)
네, 맞습니다.
동일한 확률을 가진다는 것은 출제자가 정해주는 것이지
문제를 푸는 이가 가정하는 것이 아니라는 것이지요
동전을 던지면 앞면이 나올 확률이1/2이라 생각하시죠?
그리 생각하고 문제를 풀어도 괜찮다고 출제가가 확언을 해주는 겁니다.
문제 뒤에 보시면 (단, 앞면과 뒷면이 나올 확률은 같다) 라고 있을 거에요
주사위를 던져서 5의 눈이 나올 확률은 1/6일까요?
그래 맞아, 그걸 확신시켜주마 (단, 주사위의 각 눈이 나올 확률은 같다) 이렇게요
(물론 생략될 때도 있기는 합니다만 ㅎㅎㅎ)
위 문항에선 점프 시에 각 경로마다의 확률이 동일하다는 얘기가 없지요
(그니까 아예 독립시행의 확률로 풀 생각은 하지 말고,
혹시라도 1/3로 풀 것을 염려해서 아예 언급을 안했달까요
물론 '점프 시에 사선, 우측 위를 선택할 확률은 알 수가 없다' 라고 해줬으면
학생에겐 보다 친절한 문제가 되었겠지요
그럼 문제로 돌아와서 문제를 잘 읽어보렴,
이 문제는 전체 경로 중 특정 경로일 수학적 확률을 묻는 거란다.
이 부분은 제 머리 안에서만 생각하고 글로 남기지 않아 비약으로 보였나 봅니다...ㅠㅠ)
그래서 각 경로 자체가 갖는 확률을 구해야 하고
그게 1/129 (전체 경로의 수가 129가지)이고
그 확률에 경우의 수를 곱해야 하는 것이지요
이게 제가 확률을 구하는 방식에서 얘기하는 p‘*경우의 수 라는 것입니다.
(이 부분은 첨부하는 자료에 있는 문제 풀이를 참조해 주십시오)
저에게는 2017년 수능 문항 중에서 30번과 더불어 가장 임팩트있게 다가온 문항이였습니다.
저는 문제와 많은 대화를 나눕니다 (병인가? ㅎㅎ)
‘이 문제는 무엇을 묻고 있는 걸까?’
'여기 담긴 메시지는 뭘까?'
‘출제자는 뭘 원하는 것이지?’
저는 이 문제를 통해 출제자가 쉄생들에게 경종을 울려 주고 싶었던 게 아닐까요
막연히 이럴거야 그러겠지 라고 생각하는 이들에게
확률의 기본을 알라고 하는 게 아닐 런지요
‘그래 이번엔 이거 갖고 틀리게 하진 않을게 대신 잘 알아둬야 한다 요 깐돌이 ㅎㅎㅎ’
이렇게요
저는 필력이 달려서 뒤로 올수록 글이 맥아리가 살짝...
그래서 칼럼만 읽고 가시긴 아쉽지요?
약소하지만 첨부파일에 있는 문제 넣어뒀습니다
네임드 문항이죠?
그 유명한 스티커 문항에 대한 제가 직접 쓴 해설까지 가져 가십시오.
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좋은 쌤이셨네요
그러나 귀신같이 약분을 안해서 틀리고 마는데
이거이거 고질병인데
29번 약분안해서 틀림 흑
ㅌㄷㅌㄷ
똑같은 사탕10개를 철수 영희 희영이에게 남김없이 나누어 줬다 이때 영희가 5개 받았을 확률은?(못 받는 사람이 있어도 된다)
이게 2017수능 가형인가여 나형인가요?
가, 나형 공통이였고 빈칸 문제로 나왔습니다.
첨부 파일에 원본 문항이 있습니다.
맞췄당 힛
쫌 하시는데 ㅎㅎㅎ
파일이 안열리는데 어떡하죠 ㅜ
왜 그럴까요...
방금 저도 다운받아봤는데 괜찮던데...
또 안되면 쪽지로 이멜 주세요
보내드릴게요
와.. 내가 저런 문제를 풀었었던가.. 기억이 안네네
한번의 기억인데요
잊혀진게 자연스러운 겁니다.
아마 당시에 큰 감흥이 있지 않다면 더 그럴테구요
...
몬티홀딜레마 설명부탁드립니다 ㅎㅎ
호오~~~워낙 유명하고 거대 주제네요
제가 댓글에 쓰기보단
검색을 추천드립니다 ㅎㅎㅎ
이천 몇 년인데...경대 기출 문제로도 있었지요
글의 가장 초반부에 제시하신 문제를 수정하여
주어진 조건(원점에서 점 (4, 3)까지 이동)에 대한 모든 ‘경우’ 중에서 임의로 한 경우를 선택하여 ‘특정한 경우’가 선택될 확률을 구하는 문제
라고 해야 하며 (단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.) 라고 반드시 적혀 있어야 올바른 문제이죠.
동전, 주사위에 대한 이야기를 끌어오셨는데, 모든 교과서에는 시행에 관한 개념을 설명할 때, 주사위, 동전에 대한 얘기가 있기 때문에 제시하신 문제와는 다르게 (단, ‧‧‧) 조건이 없어도 항상 동전은 1/2, 주사위는 1/6입니다.
이를 근거로 하여 수능문제로 동전, 주사위 문제가 출제될 때, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다는 얘기가 생략되어도 무방하다고 생각합니다.
제시하신 점프문제는 (단, ‧‧‧) 조건이 빠져있기 때문에 각 경우가 선택될 확률이 같다는 근거를 문제에서 찾을 수 없으며 각 경우의 선택이 동일한 확률을 가진다는 것을 출제자가 정한 것이 아니라 정해주지 않았다고 보는 것이 맞습니다.
정리하면 동전, 주사위와는 다르게 보편적인 케이스가 아니므로 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다고 볼 수 없습니다.
(사실 이 문제는 동전, 주사위에서 다루는 문제와 범주가 다르다고 생각합니다. 맨 아래에서 설명하죠.)
따라서 30/129=10/43 이라는 답을 낼 수 없습니다.
([특정 상황의 경우]/[전체 경우] 이므로 1/3이라는 확률로 접근하면 완전히 잘못 공부한 학생이 되는 것이구요.)
문제의 소재가 동전이라도 앞면, 뒷면이 나올 확률이 1/2인 것과 상관없도록 얼마든지 문제를 만들 수 있습니다.
한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 3번 반복할 때, 세 번째 시행에서 뒷면이 나오는 모든 경우 중에서 첫 번째 시행에서 앞면이 나오는 경우가 선택되는 확률은? (단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.)
전체 경우 -> 4가지
특정 상황의 경우 -> 2가지
답은 1/2입니다.
네, 문제에서 (단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.) 를 넣어 주는게 맞지요
저는 3가지 중 하나이니 1/3 으로 독립시행으로 풀면 틀리는 것을 유도하려
넣지 않은 것도 있습니다. (푸신 분들 죄송합니다...용서를)
댓글 마지막에 주신 문제는 '파스칼'의 확률 공간 생각나고 좋네요
저는 이렇게 해볼까요 (표절 한 번 하겠습니다)
주사위를 한 번 던지는 시행을 3번 반복할 때, 세 번째 시행에서 3의 배수가 나오는 모든 경우 중에서 첫 번째 시행에서는 3의 배수가 아닌 경우가 나오는 확률은? (단, 각 경우가 나오는 확률은 동일하다)
전체 -> 36가지
특정 경우 -> 24가지
답은 2/3 입니다.
습관이 되어 무의식중에 당연하다고 생각하는 것들에 대해 경종을 울려주는 좋은 글이네요. ^^
댓글을 잘못달았습니다.
죄송합니다.
어서 고급진 칼럼을 쓰시오
스튜어트 정리 잘봤어요^^
그거 미2 교과외 파트일텐데 ㅋㅋ 고지우 쌤께서 제 강의를 모니터링 하신다니 설레네요 ㅋㅋㅋ
칼럼 쓸 소재는 한가득인데 여유되는대로 또 올리겠슴다! ^^
제시하신 문항에서 점프 시에 각 경로마다의 확률이 동일하다는 얘기가 없기 때문에 각 경로 자체가 갖는 확률을 구하는 것이라고 본문에 적혀있는데 그게아니라
애초에 발문에서 '~~의 모든 경우' 중 '5번 만에 가는 경우'의 확률을 구하라고 했기 때문에 n(A)/n(S) 로 접근(-각 경우가 선택되는 확률은 동일하다는 얘기가 반드시 필요) 해야 한다고 보는데, 선생님은 어떻게 생각하세요? 각각의 점프가 선택될 확률이 모두 동일하여 1/3이라는 조건이 주어진다고 하더라도 답이 10/81 되는것도 아니지 않나요? 필요없는 조건이지만요.
제가 타이밍이 이래요...
윗 댓글에 5분만 일찍 달았어도 님이 두 번 쓰실 필요 없었었을 텐데요...
발문에서 '~~의 모든 경우' 중 '5번 만에 가는 경우'의 확률을 구하라고 했기 때문에 n(A)/n(S) 로 접근(-각 경우가 선택되는 확률은 동일하다는 얘기가 반드시 필요) 해야 한다고 보는데, 선생님은 어떻게 생각하세요?
맞습니다, 그래야 완성된 문제라고 봅니다.
저자님이니깐 갠적으로 물어 보고 싶어요
저는 저 문제(수능 원본 문제) 보고 되게 좋았거든요
'빈칸 추론이 아닌 단독 확률 문제여도 좋겠다' 이런 느낌였거든요
물론 확률 문제였다면 '수능에서 낸다고? 좀 더 간거 아냐?' 이런건 있지만요
단독 확률 문제가 되어버리면
전체 경우를 구하는 과정이 굉장히 까다롭죠. 빈칸 대로 4가지 경우로 나누어야 하며 각 경우의 수가 다르니까요.
제가 윗 댓글에서 강조했어야하는데 그러질 못했네요.. 개인적으론
제시하신 문항에서 점프 시에 각 경로마다의 확률이 동일하다는 얘기가 없음
-> 따라서 각 경로 자체가 갖는 확률을 구해야 함
이라는 논리적 접근이 틀렸으며 올바른 접근 방법이 아니라고 생각합니다..
끼어든 것 같아 죄송합니다만, 저도 읽으면서 제헌이님과 같은 생각했습니다. 각각의 점프의 확률은 관계없다고 생각합니다.
네, 제 의도가 그것인데요...
해당 경로의 수/전체 경로의 수
가 되어야지요
점프의 확률이 1/3이 아님을 얘기하려는 글입니다.
사선으로 점프할때 확률이 1/3 일때
답은 10/81이라고 볼수없는건가요??
네
표본공간 S의 원소는 점 (0,0)에서 점 (4,3)으로 이동하는 각각의 경우이기 때문입니다.
독립시행으로 어떻게 풀어야(어떻게 실수해야) 10/81이 나오는 건지 잘 모르겠어요..ㅠㅠ
10/43은 이해가 되었는데 말이죠.. 설명해주실 수 있으신가요??
사선 2번, 우측 2번, 위 1번 이렇게 나올 확률이라
(1/3)^5 x { 5! / (2! 2!) } =10/81
혹시라도 위, 우측, 사선 3가지 중 하나이니 각 확률을 1/3로 하고 푼다면 나올수 있는 오답입니다.
단순히 수학적 확률과 독립시행의 확률을 구별하냐 못하냐로 물으셨다면, 보다 깔끔한 칼럼이 되지 않았을까 합니다.
애초에 10/81이 나오려면 문제의 발문이 달라져야 하는데 이 부분에 대한 명확한 설명이 없다는게 좀 아쉽네요.
간단한 물음을 지나치게 복잡하게 포장하신 듯한 생각이 듭니다.
네, 지적 잘 알겠습니다.
잘 정돈된 글을 쓰도록 노력해 가겠습니다.
사선으로 점프할 확률이 0.99 라고 가정한다면
답은 달라지나요??
달라지지 않습니다.
독립시행의 확률 문제가 아니니까요^^
잘이해가 가지않습니다
3가지 경우의 점프의 확률이 모두 1/3로 같다고 하면
10/81 도 답이될 수 있는건가요?
아니요,
그렇게 풀면 안된다는게 칼럼의 요지입니다.
위 문제는 전체 경로의 수 중 5회만에 도착하는 경로의 수를 묻는 문제여서 점프 종류의 확률은 필요치 않습니다. (그래서 문제에서도 언급을 하지 않는 것이구요)
문제에서 점프의 확률이 안주어져있으니
특정사건/전체사건 으로 문제를 푸는건 알겠는데..
각각점프할 확률을 알고있을때조차
저렇게 접근하면 안되는 이유가 뭔가요..?
머리속에서 두개가 충돌하네요
둘다 맞는것같은데..
그 두가지가 다른 문제여서 그런겁니다.
만약 점프 종류 마다의 확률을 주었다면
발문이 바뀌었겠지요.
'5번만에 (0,0)에서 (4,3)으로 가게될 확률을 구하시오' 이렇게요
절대!! 학생처럼
[점프의 확률이 주어져있지 않음]
-> [그러므로 특정사건/전체사건 으로 접근해야함]
이라는 논리를 통해 문제를 풀면 틀린 방향으로 문제를 풀게 되는것입니다.
올바른 접근 방법은
점프의 확률이 주어져있든 안주어져있든 "점 (0,0)에서 점 (4,3)으로 이동하는 모든 경우" 에 초점이 맞추어져야 합니다. 발문에서도 2번이나 적혀있구요. 이 부분에서 우리는 표본공간의 원소를 무엇으로 설정했는지 알 수 있습니다.
표본공간의 원소는 점 (0,0)에서 점(4,3)으로 이동하는 각각의 경우이지, 점프(오른쪽, 위쪽, 대각선)가 아닙니다.
표본공간의 원소만 제대로 파악했다면 1/3으로 헷갈릴 여지가 전혀 없습니다.
참고로 정답이 10/81이 되려면
문제가 다음과 같아야합니다.
(점프시 오른쪽, 위쪽, 대각선 방향으로 이동할 확률이 1/3로 동일하다는 전제하에..)
Q) 5번 점프를 하여 점 (0,0)에서 점 (4,3)으로 이동할 확률은?
이때는 독립시행의 확률이 되는것이죠. 각각의 점프마다 확률이 1/3이니까요.
이해가 안되시면 쪽지 따로 보내주세요.
더 이상 댓글이 안달려 직접 댓글을 답니다.
제헌님, 제 칼럼 어디에서
점프의 확률이 없음 --> 특정 사건 / 전체 경우 로 풀어야 한다고 했나요???
문제가 묻는게 특정 사건 / 전체 경우 인것을
혹시라도 오독하여 각 점프의 확률을 1/3로 풀게 되는 경우를 경고하려 쓴 칼럼입니다.
특정사건의 경우/전체 경우
라는 것이 수학적 확률인 것이죠?
p‘*경우의 수 라고 다르게 설명하신것 같지만요.
사진 첨부합니다. 아래에서 27번째줄? 정도일거에요.
점프시 각 경로마다 확률이 동일하지 않음
-> 그래서 각 경로 자체가 갖는 확률을 구해야함
=(1/129)×경우의 수
저는 이렇게 해석이 됩니다..
점프시 각 경로마다 확률이 동일하다는 얘기가 없음 (제 의도는 사선 우측 위 선택시 확률이 1/3인지도 모르므로 독립시행으로 풀면 더더욱 안된다는 걸 확인시켜주는 의미) --> 아예 질문 자체가 독립시행의 확률 문항이 아니라고. 이를 1/3로 잡고 독립시행으로 풀어선 안된다는 뜻입니다.
전체 경로 중 경로 하나를 택할 확률이 1/129이니 이를 p' 이라 했고 여기다 30을 곱한 거지요.
(물론 p' × 경우의 수 도 독립시행이란 오해를 살 수도 있을 표현이었네요)
제가 매끄럽게 전달하지 못하였다면
그 부분은 사과드립니다.
아,
제가 p' × 경우의 수를 다르게 설명했다는건
교과서의 수학적 확률 정의(n(A)/n(S))와는 표현이 조금 다르게 설명되었다고 말씀드린거에요. 결론적인 확률값은 같겠지만요.
점프시 오른쪽, 위쪽, 대각선마다 확률이 동일하다는 얘기가 없음 -> 독립시행 확률이 아님
인 것은 아니죠.
각각의 확률이 달라서 1/3이 아니더라도 독립시행의 확률로 문제가 만들어질 수 있습니다...
글의 내용이 표본공간을 좀 더 강조했으면 어땠을까 아쉬움이 듭니다.
애초에 제가 칼럼 내용이 틀린것을 지적했던 것은 선생님께서 본문 내용의 문제에 (단, ..) 조건을 다시 넣음으로써 해결되었습니다
합리적 지적에 감사드립니다.
사고가 글로 잘 구현되도록 노력하겠습니다.
역시 그냥 출제하면 오답률이 너무높을거같으니 평가원이 조금 자제한듯하네요
역시 평가원이구나 란걸 보여준 지난 1년이였던거 같습니다.
걸작 문제도 많고, 킬러 아닌 문제들에서도 메시지를 담아서
그에 대비하는 과정이 재미있었네요.
올해도 기대가 됩니다 ㅎㅎㅎ