a^0 이 무슨뜻인가요?

게시글 주소: https://wwww.orbi.kr/0002736721

수학 교과서에서 봤는데

a^0, 즉 a를 0번 곱한다는게 뭔소린가요?

n이 정수, 유리수, 실수일때 n번 곱한다는게 진짜 무슨 의미일까요??

팔로우 0

[ 대성학력개발연구소 ] ★대성모의고사 공모전★ (12/2~2/2)

[ 노크 ] 22개 대학합격인증자를 위한 안전하고 클린한 커뮤니티, 노크

[ P.I.R.A.M 국어 - A to Z 2026 ] 수십만 선배들이 이미 검증한 '독학' 국어 필독서

0 XDK (+0)

유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

쇼콜라♪ [133512]

쪽지 보내기

알림
스크랩
신고

hand in hand · 370703 · 12/02/07 20:07

계산의 체계를 확립하기 위해 임의로 집어넣은 수아닐까요?

좋아요 0 답글 달기 신고
hand in hand · 370703 · 12/02/07 20:08

곱이 지수의 합이라던지

좋아요 0 답글 달기 신고
수컷사자 · 356347 · 12/02/07 20:11 · MS 2017

hand님 말씀이 맞는듯..

좋아요 0 답글 달기 신고
sos440 · 104180 · 12/02/07 21:15 · MS 2005

n이 자연수라면 a^n 은 a를 n번 곱한 것으로 정의합니다. 그리고 이를 통해서 소위 지수법칙이라는 것들을 확립하지요.

하지만 이렇게 확립된 지수법칙들이 매우 유용함이 밝혀지고, 또 이 정의를 굳이 자연수로 한정할 이유가 없다는 것이 밝혀지면서 지수의 정의를 우리가 '지수법칙이 성립하도록' 확장을 한 것입니다.

이 과정에서 본래의 의미인 'n번 곱한다'는 의미가 많이 사라지긴 하지만, 실보다는 득이 훨씬 많지요.

그것이 가능하고, 또 그렇게밖에 확장할 수 없다는 것은 수학자들이 약간의 노력을 들여서 이미 증명해놓았으니 (나카렌 님의 포스팅을 보시면, 그 방법에 대한 감을 잡으실 수 있습니다)

그러면, 지수가 자연수를 넘어서 실수까지로 확장되었을 때, 그 의미를 찾을 수는 없을까요? 다음과 같은 조건을 만족하는 함수를 생각해봅시다:

(1) f(x)는 0이 아니며, 그 그래프는 매끄럽다.
(2) f(x+y) = f(x)f(y) 이다.

이 조건을 만족하는 함수는 임의의 자연수 n에 대하여 항상

f(n) = f(1)^n

을 만족함을 알 수 있으며, 약간의 미적분학 지식을 이용하면 임의의 실수 x에 대하여

f(x) = f(1)^x

임을 보일 수 있습니다. 따라서 f(x)는 지수함수가 됩니다. 한편, 조건 (2)를 이용하면 다음 식이 따라나옵니다.

f(x+1)/f(x) = f(1), 혹은 더욱 일반적으로 f(x+y)/f(x) = f(y)

즉, f(x)는 x가 일정한 양만큼 증가했을 때, 함수 f(x)의 '증가 비율' 역시 항상 일정한 함수입니다. 이 지수에 대한 새로운 해석은 자연수 범위에서는 기존의 'n번 곱한다'와 같은 의미를 지니면서 동시에 지수가 자연수가 아니어도 얼마든지 적용할 수 있는 성질이지요. 그리고 이러한 성질은 수학 내부와 외부 모두에서 매우 중요하게 등장하는 성질입니다. (예를 들면 시간에 따른 방사성 입자의 양 N(t)는 dN(t) = -λN(t)dt 로 주어집니다. 이는 N(t+dt) - N(t) ≒ -λN(t)dt, 혹은 N(t+dt)/N(t) ≒ 1 - λdt 를 의미하는데, 이는 N(t)가 시간이 일정하게 증가하면 그 증가율 역시 일정함을 뜻합니다. 따라서 N(t) 역시 지수함수가 되지요.)

좋아요 2 답글 달기 신고