증명을 하는 이유
게시글 주소: https://wwww.orbi.kr/00036516478
칼럼을 겸한 쪽지 Q&A 기록용입니다.
도움이 되시길.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은,
교과서에 나와 있는 어떤 정리가
참이 되는 이유입니다.
예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠.
그게 참인 이유가 증명이에요.
이걸 배우지 않은 상태에서
혼자서 증명하는 것은 어렵습니다.
증명은 과거에 누군가
엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에,
그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠.
그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서
수학이 발전해 온 것이고,
고등학교 교과서는
그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다.
예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분
순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이
수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가.
1) 증명에는 발상이 있다.
고난도 문제를 풀어봤다면
알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다.
도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다,
함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등.
문제만 풀어온 학생이라면
이러한 발상을 문제를 풀어야
배울 수 있는 거라고 생각하겠지만,
사실 수능에 나오는 모든 발상은
교과서 증명 안에 다 들어있습니다.
그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 오늘 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데,
글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서
인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠?
증명을 배운다는 것은 마치
살아있는 인간을 배우기 전에
해부학을 배운다는 것과 같습니다.
이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로
교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요.
따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로
기출 문제를 풀게 되면,
문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라,
문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요.
그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다.
따라서 기출을 보기 전에
교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
2) 증명에는 정의가 있다.
증명을 해야 하는 두번째 이유.
미분가능한 함수는 연속함수이다
라는 것을 증명할 수 있나요?
이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요.
대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다.
왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의
정의를 정확히 모르거든요.
느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면,
매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다.
그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가,
예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라,
라는 문제가 있을 때 대부분 학생은
1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다.
라는 순서대로 문제를 풉니다.
이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데,
정의를 잘 모르기 때문이구요,
저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데
4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요.
문제풀이의 접근방법은 반드시
정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,
오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
3) 증명에는 논리가 있다
증명을 해야 하는 세번째 이유.
직접 증명을 써보면 알겠지만,
아는 내용이라도
논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다.
그건 학생들이 아직 논리적 사고력
또는 표현력이 부족하기 때문이죠.
교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다.
복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에
누구나 이해할 수 있는데,
그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요.
강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만
똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다.
즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고,
연습입니다.
수학은 그것을 연습하는 학문이에요.
고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고
대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만,
중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이
논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
몸이 무기력하고 억지로 책을 펴도 눈에 들어오는 게 없는 날 그런 날 있잖아요 그때...
-
재수생인데 작년 지구 1 이었는데 물리 II로 갈아타고 싶은데 어떻게 생각하시나요?...
-
물리 생명하다가 사탐런각 보고 있어서 일단 생명 -> 사문으로 갈았는데 물리를...
-
올해 목표 2
수능에서 센츄 뱃지 따기 흐흐
-
첨으로 실모 100점인줄 알고 싱글벙글 채점 했는데 어림도 없지 바로 96점
-
아직까지 ebs수특 수완 안 풀었는데요 지금이라도 ebs 사서 몰아쳐서 풀까요?...
-
국어 > [강대모의고사K 8회] 공통, 화작 > [수능특강 독서] 2부 인문예술 3...
-
십덕씩이라도 줬는데.. 이제는 옵붕이들 호락호락하지 않네
-
늦잠자서 닷지때림 10시간을넘게자네
-
흐
-
추천글이 거의 다 칼럼이네
-
에센셜 이니셜은 어떤포지션의 강좌인가요? 커리안내에도 안나와있던데 개념강좌인포인트나...
-
9모 37 4등급이었고 유자분 다음주 즈음이면 완강할 수 잏을 거 같아요...
-
문디컬 약대 5
여대 말고 되는데 있음?
-
법전원 교수님들 학부 강의 열린 거 들어보는 거 좋은 거 같음
-
화학이 재밌어졌다
-
오바인가요? 강의가 꽤 많던데
-
1번 문제 가 - 고전적 서양논리 vs 대안적 관점 고전적 서양논리는 범주 안...
-
파본검사 해야하는거 아닌가 싶었는데 쌤들도 별말없고 주위 애들도 안하길래 저도 그냥 넘어갔네요..
-
한국입시를 잘 몰라서... 명절때 친척 오빠가 와서 자기 서울대의대갔다고...
-
정법은 워낙 컨텐츠가 없는데 사문은 너무 많네요 풀어본것중에 너무 안쉽고 퀄리티 좋은얘들 추천좀요!
-
작년에 체대준비하느라 수학공부 안하고 제대로 준비하는건 올해가 처음인데 수능날...
-
4000부 판매돌파 지구과학 핵심모음자료를 소개합니다. (현재 오르비전자책 1위)...
-
ㅈㄱㄴ
-
무신사 너무 비싸
-
고1인데 시발점+쎈 회독만 해서 고2 모고는 낮2뜨는데 뉴분감들어가도 됨?
-
왜 네번째에 반지끼냐고 꼽먹음
-
뇌 탈출 2
푸슝~
-
네
-
홍익대 인논 0
문제 1 범주파악했으면 개추 ㅇㄷㄴㅂㅌ
-
국어 찍을때 0
시간이 모자라서 가나지문 눈알굴리면서 푸는데 만약에 수능때 절어서 한줄로 밀어야하는...
-
하니대갈끄니까~ 1
ㄹㅇ
-
디카프 배송 0
트레일러 1 2 시켰는데 트레일러 2만 옴;;; 원래 따로 오는거임?
-
10시간자도 졸리네 독재했으면 진작에 망했을듯 ㄹㅇㅋㅋ
-
ㅠㅠ 지역은 대구입니다
-
서울대 연대 고대 "경찰대"
-
A와 B의 y좌표 차이로 미지수를 구하려고 하는데, 여기서 계산 어떻게 하죠? 만약...
-
아님 기괴한 컷이 나와버림 언매나 문학 둘 중 하나만 쉽게 나와도 독서 난이도 대비...
-
김승리 커리 따라가면서 실모 하는데 지금 시기로 보면 8회분까진 풀수 있을거 같음...
-
그냥 진짜 궁금한 거임 여기 말고 다른 곳 많은데 왜 여기 있는 걸까
-
18수능 94가 도무지 이해가 안됨 어떻게 그 난이도에 저 컷이 떴을까 이게 1년...
-
닉변완 3
-
경희대 정시 2
화 미 생 지 94 90 2 90 96 경희대 가능한가요? 수학 더 올려야하나..
-
야 홍익대 1
나도 너 별로야...잘가라.
-
수능은 영수과국 순으로 나오네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
외국으로 국제학교 갈 여력이 된다면 무조건 가는게 이득인가요??
-
살자마렵네 5
점수가 점점 하락하고 있어
-
https://www.instagram.com/reel/DAxuKHLSDT2
-
이감 앱 4
있었구나..이감은 역시 자본이 ㄷㄷ 한줄평 유사 커뮤니티네
hoxy... 새로운 npc의 탄생...?
헉 진짜네
증명은 그럼 독학하고 싶으면 학교에서 썻던 교과서로 하면 될까요?
네~ 교과서에 다 나와있고 독학이니까 설명이 필요하면 유튜브 검색해도 나올거에요.
선생님 칼럼보면서 항상 많은 도움 받고가요... 좋은 글 감사합니다!
도움이 되었다니 기쁘네요. 감사합니다.
선생님 그러면 미분가능성은 어떻게 해야 맞는 풀이인가요?
미분계수가 존재하는 것을 미분가능이라고 해요.