기벡 기출 제 풀이 오류좀 짚어주세요 ㅜㅜ
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멘붕빠져서 죽을거 같아요 ㅜㅜ
일단 문제부터올릴게여!
좌표공간에서 x축을 포함하고 xy평면과 이루는 각의 크기가 세타인 평면을 A라
하자.
평면 A가 구 x^2 + y^2 + z^2 = 1 과 만나서 생기는 도형의 xy평면
위로의 정사영이 영역 {(x,y,0) l x + 3y -2이 0이하)}에 포함되도록 하는 세타에 대해서
cos 세타의 최댓값을 M이라 할때 60M^2의 값은??
물론 그냥 xy평면 그려놓고 타원이랑 접선 관계이용해서 풀면 답 20이 그냥 쉽게나오는데
다르게 생각해보니깐 문제가 생겼어요...
지금부터 내 생각을 써볼게 오류좀 잡아주라 부탁드려요 ㅜㅜ
우선 x + 3y -2 =0이라는 직선을 편의상 직선 L이라 할게여
구가 A에 의해서 잘려진 평면은 원이잖아요??
그 원을 xy평면에 정사영시켯을때 그 정사영된 타원이 L과 접할때 cos세타가 최대가되는건데
역으로 접한 상태부터 가정을해보면
정사영시킨 도형인 타원이 직선과 접했을때 이 직선 L을 z축 양의방향으로 쭉! 올리면
언젠가는 구가 A에 의해서 잘려진 평면과 접하니깐 이점을 P라고 하면
그럼 이 P를 지나고 xy평면에 평행한 평면을 그릴수있지않나요?
그럼 이 평면이 구를 자르는 평면은 P에 접하는 원이되지 않나요??
그래서 이 P에 접하는 원의 반지름을 구해봤어요
구의 반지름이 1이고 평면 A가 이루는 각이 세타니깐 이 원의 반지름은 cos 세타가 나오더라구여..
신나서 이 원하고 직선 L올린거하고 접하니깐 원과직선사이 거리공식써서 구하니깐 cos 세타의 제곱이 2/5가 나와서
답이 24가되네요..ㅜㅜ
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그세타가 평면사이의 각이 아니에요