[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
게시글 주소: https://wwww.orbi.kr/00054696644
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이런 시발!!!
-
김서현 너의가치를 증명해라
-
이 시험지가 나랑 너무 찰떡이었나부다 그럼 모해 국어부터나 좀 잘보지
-
컷이 얼마일지는 모르겠는디 반수생 살려
-
평촌 학원가쪽에 노트북 자유롭게 두들길 곳 없을까요? 0
스벅은 의자가 너무 불편해서
-
1학기에는 학교 다니면서 간간히 수능공부했고 2학기에 원래 휴학하려고했는데 6모...
-
대치 러셀 0
대치 러셀 그린반 대기 언제 빠질까요?? 대치 러셀 요즘 나가는 학생 많은지요
-
오늘 더프 보고 진짜 이건 좀 아니다 싶어서 생각 정리하러 조퇴함 현역 6월부터...
-
정법50 사문 41 ㅋㅋㅋㅋ 사문만한다
-
?
-
수열 ㅂㅅ한테는 1
수열 22번이 나은듯 어차피 조금만 어렵게 나와도 못푸는데 15번보다 22번...
-
국어 24은 ㅅㅂ꺼… 불이당기인가 뭐시기는 수필 읽은지 30초만에 걍 그 페이지...
-
7덮 87점 뜸..... 월례도 늘 1이었었는데 어려웠던건지 내 영어실력이 ㄹㅈㄷ...
-
글이없네..
-
아 씨발 나만 또 ㅈㅂ이지 생각한 때가 엊그제 같은데.... 화이팅입니다 미나상...
-
화작 - 89 (#18, #24, #31, #34, #36) 1) 난이도: 비문학...
-
저는 특성상 인강 같이 들으면서 따라가면 안 되고 어느정도 개념 스스로 문제 풀며...
-
아니 문학이 어떻게 딱 안떨어질수가있어 원래 선지가 나 답이에요 하고...
-
ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 어그로 ㅈㅅ 본인은 개조짐 나 강대다니는데 부모님헌테...
-
덮 영어 21 23 24 33 36틀인데 20번대가 훨씬어려운거 같은데 이유가...
-
지금 뇌절왔나
-
나 ㅅㅂ 다 틀렸눈데 어려웠던거야?
-
마지막 문학 지문 날려풀었더니 전멸.. 고전시가도 넘 어려웠..하…
-
새가 행동 하기 전에 의미부여 어쩌고… 이거 다시 풀어도 해설지처럼 사고가 안될 거 같은데
-
작수 55615 언미화2물2 이번 7덮 45 47 75 26 12 시험 치고나서...
-
대충 수능 표본하고 비슷하다고 보면 되나? 현역들 좀 빠진 표본?
-
확통런데 수학 점수가 걍 불확정성 원리 맹키로 난장판임 강x 0회차 시즌 1 1회차...
-
아니 진짜 미친것 6모도 나름 82점이고 5덮은 91점이였는데 ㅠ……….. 진짜...
-
7덮 국어 씨발 1
나만 어려웠냐??? 삼수하면서 지금까지 어떤 국어실모봐도 백분위 95밑으로 가본적이...
-
흐흐흐 2
-
나한테 화이트 빌려준 감독관 잘못임. - 원영적 사고 흑화 ver
-
ㄷ 선지 맞지 않나요? 해설의 (I대길이/H대길이)가 왜 역수로 계산된 거지…?
-
7덮 후기.. 3
언매 85 통통이 92… 영어 88 한지 48 세지 50 하 국어,영어 진짜 안오르네요..
-
안녕하세요. Headmaster입니다. 오르비에서는 이 글로 인해 첫 인사를 드리게...
-
이번 7덮 독서 1 6 16 17 문핟 18 19 20 21 31 33 +화작 1개...
-
국어 78 <---시발 언매를 5개를 틀리노??? 수학 채점안함 20번 45를...
-
71 84인데 몇 나옴??
-
잊잊잊 때매 온갖 국어 수필 문제들 빡세진 거 개빡침 0
정작 6모 수핑은 쉬웠는데 하…
-
7덮 79점맞음 어떤게 제 실력일까요…………. 눈물나네
-
ㅅㅂ ㅋㅋㅋ 어이가 없노
-
팜호초도 내놓아라 공식 유튜브에 올려라 빨리
-
7덮 결과 1
미적 77 화작 72 영어 78 탐구는 그냥 개망 ㅈㅈ 한강갑니다
-
언매 이상한 시간 쓰는 문제만 내지 말아줘...
-
이거 진짜 어떡하냐
-
수학황들 도와죠 0
수학황들 도와줘요 아니수완29번 fx 미분때리면 문제 식적혀있는대로 탄젠트랑...
-
ㅇ
-
님들 책 과함? 18
집에 n제 실모가 넘 없어서 여기에 수능완성 삼
-
6평 언매 백분위 98 >> 7덮 원점수 60 ㅋㅋㅋ 3
거짓말이 아니라 안믿김 6모는 그냥 깔끔하게 딱딱 풀었는데 이번에는 그냥 난장판이네요 하
-
약대 인식 3
여러분은 약대 인식이 어떻다고 생각하시나요?
-
무슨문제인지 알거임 ㅋㅋ 맞추긴했는데 시간 걍 개빨렸늠
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~