[정시 용어의 이해] 4편 : 백분위 계산법

안녕하세요 환상동화입니다.

이번 편에서는 제목을 보면 아시겠지만 백분위에 초점이 맞춰져 있습니다.

백분위의 의미를 먼저 설명한 후, 백분위 계산하는 방법을 본격적으로 알려드리도록 하겠습니다.

지난 편 링크입니다.

[1편] 표준점수 기본 : https://orbi.kr/00059924973

[2편] 표준점수와 등급컷 : https://orbi.kr/00059952153

[3편] 표준점수 증발/점프 현상 : https://orbi.kr/00059992389

2편에 등급컷 결정 방법 정도만 읽고 오셔도 좋을 것 같습니다.

Ⅰ. 백분위의 의미

백분위란, 100명 중에 자신의 위치가 상대적으로 어디에 있는지 나타내는 지표입니다.

백분위는 그 수가 클수록 상위권이라는 의미이기 때문에, 백분위가 클수록 입시에서 유리하게 작용합니다.

100에서 백분위를 빼면 자신의 대략적인 상위 %를 알 수 있는데요,

예를 들어, 백분위가 68이면 그 과목 내에서 상위 32% 정도의 위치에 있는 것이고, 백분위가 93이면 그 과목 내에서 상위 7% 정도의 위치에 있다는 의미가 됩니다.

즉, 다음과 같은 관계가 성립함을 알 수 있습니다.

100 - (백분위) = (상위 %)

반대로, 100에서 상위 %를 빼면 백분위가 나온다는 사실 또한 알 수 있죠.

100 - (상위 %) = (백분위)

이를 토대로 백분위를 실제로 어떻게 구하는지 알아보겠습니다.

Ⅱ. 잘못된 백분위 계산법

제가 다음과 같은 상황을 제시해보겠습니다.

주의: 등급 뿐만 아니라 백분위도 표준점수를 기준으로 결정됩니다. 원점수를 기준으로 결정되는 것은 아무것도 없으며, 오직 표준점수만이 기준이 됨을 다시 한 번 강조하겠습니다.

여기서 어떤 점수의 백분위를 구할 것이냐면... 가운데에 있는 65점의 백분위를 계산해봅시다.

65점에서의 백분위를 구하는 데 필요한 정보만을 추출하면 다음 세 가지가 있습니다.

① 65점보다 점수가 높은 인원은 104명이다.

② 65점인 인원은 60명이다.

③ 이 과목의 응시자 수는 2,000명이다.

이 세 가지 조건을 토대로 65점의 백분위를 구해보시는겁니다.

백분위를 직접 구해보시면 소수가 나올텐데요, 이것도 소수점 아래 첫째자리에서 반올림 해주시기 바랍니다.

자 그럼 시작~

...이라고 여러분에게 계산을 맡기면 다양한 오답이 나올겁니다.

잘못된 예 1) 

65점보다 점수가 높은 사람이 104명이니까, 65점은 105등이네?

응시자 수가 2,000명이고 등수가 105등이니까 상위 %는

구나. 백분위를 구해보면 100 - 5.25 = 94.75인데, 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하라고 했으니까 95가 되겠다.

잘못된 예 2)

65점 이상인 인원이 164명이니까, 65점의 등수는 164등인 것으로 봐야겠지?

응시자 수가 2,000명이고 등수가 164등이면 상위 %는

가 되겠다. 백분위를 구해보면 100 - 8.20 = 91.80인데, 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하라고 했으니까 92가 되겠다.

이 두 예시는 모두 틀렸습니다.

실제로 '잘못된 예 2'처럼 알고 계시는 분이 생각보다 많은데요,

특히 만점 백분위 구할때, 만점자 비율이 6%라고 하면 만점 백분위가 그냥 100에서 6 빼서 94인줄 아시는 분들이 많습니다.

그게 아닙니다 여러분. 지금부터 올바른 백분위 계산법을 알려드릴테니 헷갈리지 않으시기 바랍니다.

Ⅲ. 올바른 백분위 계산법

위 예시에서 백분위를 잘못 구한 이유는, '등수'의 기준이 애매하기 때문입니다.

66점 이상이 104명이니까 65점의 등수는 105등이라고 생각한 분들도 계셨고,

그냥 65점 이상이 164명이니까 164등이라고 생각한 분들도 계셨을 겁니다.

물론 등수라는 개념이 원래 상황과 관점에 따라 차이가 있는 것이니까, 이 두 가지 중에 하나로 생각하셨다고 해도 그 생각 자체가 틀렸다고 할 수는 없습니다.

그러나 이렇게 구하시면 백분위는 틀리게 나올겁니다. 따라서 백분위를 계산할 때 등수를 올바르게 구하는 방법을 지금부터 알려드리겠습니다.

등수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

(자신보다 표준점수가 높은 인원 수) + (동점자 수)÷2

이 식을 토대로 아까 상황에서 65점의 등수를 다시 구해보겠습니다.

앞에서

① 65점보다 점수가 높은 인원은 104명이다.

② 65점인 인원은 60명이다.

라고 했습니다.

그렇다면 

'자신(65점)보다 표준점수가 높은 인원 수' = 104명이고,

'동점자 수' = 60명이므로

등수는 104 + 60÷2 = 134등이 됩니다. (나눗셈부터 해야되는거 다들 알고 계시죠?)

따라서 상위 %는 다음과 같으므로

백분위는 100 - 6.70 = 93.30이 나옵니다. 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림 해주시면 최종 백분위는 93이 나옵니다.

백분위를 구해봤으니 등수식을 다시 한 번 살펴봅시다.

(자신보다 표준점수가 높은 인원 수) + (동점자 수)÷2

이 등수식에서 동점자 처리 기준을 살펴볼 수 있는데, 동점자 수를 절반으로 나눠서 처리하겠다는 의미가 되겠죠.

앞에서 살펴본 잘못된 예들 중에서

잘못된 예 1 (105등)에서는 동점자 수를 아예 무시하였고

잘못된 예 2 (164등)에서는 동점자 수를 너무 과도하게 고려하였습니다.

즉, 실제 동점자 처리 기준은 이 둘의 절충안이라고 할 수 있겠습니다.

만약에 만점 백분위를 구하고 싶다면 어떻게 할까요?

당연한 이야기지만, 만점보다 점수가 높은 사람은 없습니다.

따라서 등수는 (0 + 만점자 수) ÷ 2이므로, 

결국 만점자 수에 2를 나눠주기만 하면 바로 알아낼 수 있습니다.

"그러면 만점자가 1명이면 1등이 아니라 0.5등으로 처리해야 하는건가요?"

네 맞습니다. 위 식에서 예외는 없습니다.

제가 앞에서 이런 말을 했었죠

"특히 만점 백분위 구할때, 만점자 비율이 6%라고 하면 만점 백분위가 그냥 100에서 6 빼서 94인줄 아시는 분들이 많습니다."

이것은 잘못된 예 2처럼 동점자 수를 너무 과도하게 고려해서 발생한 오류라고 할 수 있습니다.

만점자 비율이 6%라면, 실제 백분위는 100에서 6이 아니라 6의 절반인 3을 빼서구하셔야 합니다.

따라서 이 때 만점 백분위는 94가 아니라 97이 됩니다.

Ⅳ. 등수를 구하는 다른 방법 & 실제로 백분위 구해보기

표준점수가 n점이라면

'(표준점수 n+1점에서의 누적 인원)과 (표준점수 n점에서의 누적 인원)의 평균'으로 등수를 구할 수 있습니다.

예를 들자면

위에서 65점의 등수는 이렇게 104와 164의 평균으로 바로 구할 수 있습니다. 104와 164의 평균을 구하면 134가 나오는데, 이는 파트Ⅲ에서 구했던 것과 같은 결과입니다.

앞에서 설명한 방법에서는 66점에서는 누적 인원, 65점에서는 그냥 인원을 봐야 했었는데, 이 방법은 누적 인원만 보고 계산하면 되니까 개인적으로는 이 방법이 더 편한 방법이라고 생각합니다.

실제로 여러분들이 평가원 자료를 직접 다운받으셔서 백분위를 계산해볼 수도 있습니다.

채점 결과 보도자료 글을 보시면 '표준점수 도수분포'라는 엑셀 파일이 있을텐데요,

다운받아서 보시면 다음과 같이 표준점수 별로 인원 수가 상세하게 기록되어 있습니다.

만약에 동아시아사 표준점수 61점의 백분위를 구해보고 싶다 하시면

위와 같이 62점 누적 인원과 61점 누적 인원의 평균으로 등수를 구하시면 됩니다.

그런데 사진에 숫자가 잘 안 보여서... 3,227과 3,854라고 써있습니다.

이 둘의 평균을 구해보시면 3540.5라는 결과를 얻을 수 있습니다.

그리고 응시자 수는 밑으로 조금 내려보면...

여기에 나옵니다. 18,847명이네요.

이 정보들을 토대로 상위 %를 계산해보시면

라는 결과가 나오고, 이를 100으로부터 빼면 81.214...가 되므로 최종 백분위는 81이 됨을 알 수 있습니다. 

관심이 있는 분들을 위해 2023학년도 6월 모평 도수분포표 자료를 첨부하겠습니다. 과연 관심 있는 사람이 있으려나

백분위 아무거나 한 번 계산해보시고

정답은

국어/수학 : https://orbi.kr/00057456456

탐구 : https://orbi.kr/00057445392

에서 확인해주시면 됩니다.

Ⅴ. 백분위와 등급의 관계

결론부터 말씀드리자면, 백분위와 등급 사이에는 직접적인 인과관계가 없습니다.

백분위 96 이상이면 1등급, 백분위 89~95이면 2등급 아닌가? 생각하실 수도 있는데, 어느 정도는 맞는 말입니다. 그러나 아닌 경우도 있습니다.

여러분 이 표 기억 나시나요? 중요도가 떨어진다고 해서 안 보신 분들도 꽤 계실 것 같은데

2편에서 등급 블랭크 설명하면서 보여드린 표입니다. 64점에서 4%를 아깝게 못 넘어서 1등급컷이 63점으로 내려간 케이스였죠.

이제 여러분들 백분위 계산하는 방법을 아셨으니까 이 표에서도 백분위를 계산해보실 수 있습니다.

하지만 역시 계산은 귀찮겠죠. 그래서 제가 계산해왔습니다.

63점이 조금 특이합니다. 1등급인데도 백분위가 92가 나왔죠?

이처럼 커트라인에 동점자가 몰려있는 경우, 등급 자체는 1등급이라도 동점자 처리 기준 때문에 백분위는 다소 떨어지게 됩니다.

따라서 백분위가 반드시 96 이상이어야 1등급이 되는게 아니므로 백분위와 등급 사이에는 직접적인 인과관계가 없다는 사실을 알 수 있습니다.

그러면 둘이 상관이 아예 없는 것이냐? 그건 아닙니다.

이론상으로는 백분위 80대, 70대도 1등급이 될 수 있지만 현실성이 매우 떨어집니다. 저도 실제로 본 적이 없고요.

여기서 예로 든 백분위 92 1등급도 사실은 매우 특이한 케이스이고, 실제로 백분위 92이면 절대다수가 2등급입니다.

저도 백분위 92가 1등급이었던 적을 2020수능 세계사 말고는 실제로 본 적이 없는 것 같네요.

결론적으로 백분위와 등급은 직접적인 인과관계는 없지만, 강한 상관관계가 있다. 

정도로 알고 계시면 될 것 같습니다.

이로써 4편을 마치겠습니다. 이제 심화편만이 남아있네요.

심화편은 수식을 좀 많이 써서 어려울 수 있습니다만, 최대한 쉽게 서술하려고 노력해보겠습니다.

5편에서 찾아뵙겠습니다.

[5편] (심화)표준점수 함수의 형성 원리 (탐구)

[6편] (심화)표준점수 함수의 형성 원리 (국어·수학)