칼럼4) 지수로그는 이거면 충분합니다

정말 이거면 충분합니다. 상당히 퀄리티 있는 칼럼이니 공부하고 계신 분들이라면 잘 읽어보셔요

이번 칼럼은 크게 3파트로 나뉩니다.

1. 지수로그 함수 개형

2. 지수함수와 로그함수의 관계

3. 요즘 지수로그 기출: 지수로그와 직선

많이들 아시는 내용도 있겠으나, 여기서만 볼 수 있는 내용도 있을 겁니다. (특히 2번이요!)

지수로그 문제는 유형을 굳이 분류해보자면 수식적인 것과 기하적인 것이 있는데요,

수식적인 것들은 아래와 같은 문제입니다. 풀어보실 필요는 없는데 일단 답은 써 놓을게요. (기출입니다)

=k로 둔 뒤, 잘 곱하면 풀리겠죠. 답은 1번입니다.

2023학년도 수능(22년도 시행) 문제입니다. 답은 3번입니다.

이런 문제들은 지수로그 그래프를 그릴 필요 없이, 수식적으로 접근해서 수식적으로 끝내야 합니다.

사실 이런 유형은 깊게 파고들게 없습니다. 그냥 열심히 풀면 풀리겠죠. 

그래서 여기서는 기하적인 것(그래프 그리는 유형)을 깊게 파고들어볼 겁니다.

1. 지수로그 함수 개형

가장 흔히 나오는 지수함수죠. 지수함수의 개형을 정하는 것은 오직 x 아래에 있는 저 빨간색 동그라미 부분입니다. 

나머지는 어떤 처리가 되어 있어도 전부 평행이동 관계에요.

이런 식으로 앞에 5가 곱해져 있더라도 얘는 위 함수와 개형이 같습니다. (합동입니다, 완전히 겹쳐져요)
x 아래에 있는 부분이 같기 때문이죠. 어떻게 5배를 했는데 여전히 꼴이 같은지 와닿지 않으신다면 다음 수식을 보시면 되겠습니다.

 그냥 2의 x승 함수를 평행이동한 셈이죠.

수식적으로는 이해가 되지만, 그래도 뭔가 부족한 느낌이 들 수 있습니다. 함숫값이 전부 5배가 됐는데도 여전히 생긴게 같은 함수라니요. 이는 지수함수의 성질과 연관지어서 적절한 설명을 찾는다면 충분히 직관적으로 받아들일 수 있으니 궁금한 분들은 더 고민해보셔요. 수능에 필요하진 않으니 여기선 스킵하겠습니다. (쪽지 주시면 소개해드릴게요!)

그럼 혹시 이 둘도 평행이동 관계에 있는, 꼴이 같은 함수인가? 라는 합당한 의심이 들 수 있습니다.

하지만 이 경우엔 아닙니다. 5를 로그의 밑인 2에 합쳐서 밑을 2의 1/5승으로 만들어본다면, 둘이 다르다는 걸 알 수 있습니다. 숫자를 곱해도 여전히 꼴이 같다는건 지수함수에서만 성립하는 얘기입니다.

 다시 지수로 넘어가봅시다.

얘도 x아래 부분이 2이니까 y=2^x와 개형이 같은 함수인가라는 오해를 하실 수도 있는데, 당연히 아니겠죠. 그걸 따질 때에는 오직 x만 있어야 합니다.

그렇다고 아예 관련이 없는 함수는 아닙니다. 2의 x승과 2의 2x 승은, f(x)와 f(2x)의 관계와 같습니다.  

다음과 같이 어디에다가 x축과 평행한 직선을 그어도 1:2 관계가 성립합니다. 4의 x승 함수를 x축 방향으로 2배 잡아당기면 2의 x승 함수가 됩니다. 

y=0.5와 같이, 교점 2개가 제 2사분면에서 생기게 그어도 여전히 1:2 관계가 성립합니다. 

이는 다음과 같이 일반화될 수 있습니다.

여기서 n이 꼭 자연수일 필요는 없습니다. 무슨 말이냐면, y=5의 x승과 y=2의 x승도 위 그림처럼 일정한 비율을 만족한다는 것입니다.

적당히 잘 잡아당겨서 늘리면 같은 함수라는 거죠. 이 표현을 처음 보신 분은 좀 어색할 수도 있으나, 이때 둘을 닮음 관계에 있다고 말합니다. 모든 지수함수는 적당히 잘 확대/축소하면 같은 함수가 되므로, 모든 지수함수는 닮음입니다. 

이 글을 읽는 분 중 모든 이차함수는 닮음이라는 말을 들어보신 분들도 있을텐데요, 같은 원리입니다. 수시러들은 이거 세특발표 주제로 삼으셔요ㅎㅎ

한편, 이 개념을 다음과 같은 상황에서도 인지할 수 있어야 합니다. 

갑자기 로그가 나와서 살짝 당황하셨을수도 있는데, 로그 어차피 지수함수랑 똑같은 함수잖아요. 지수는 가로로 생겼으니 로그의 경우에는 세로로 비율관계가 생기겠죠. 잘 찾아내셔야 합니다!

이걸 이용해서 문제 푸는 모습을 보여드리고 1번을 마무리하도록 하겠습니다.

22학년도 수능(21년도 시행)입니다.

앞서 말씀드린 내용을 제대로 이해하셨다면, 문제 다 읽고 나서 다음 사고 과정이 "수식 없이" 자연스럽게 떠올라야 합니다.

1. 로그 2의 x 함수에 그어진 직선이 로그 4의 x 함수에 그어진 직선보다 기울기가 2배 크다. 같은 x좌표만큼 이동할 때 y좌표 이동량이 2배이기 때문이다.

2. 직선의 y절편은 0이다.

이 사실을 인지하려면 로그함수 감각뿐만 아니라 직선 감각이 필요합니다. 일단 표시한 두 부분의 길이가 같습니다. 표시한 각 점에서부터 y축 위에 있는 같은 점으로 선을 이어야 하는데요, 이때 기울기가 2배여야 합니다. 같은 수평거리를 갈 때, 수직거리가 2배여야 한다는거죠. 그러기 위해서는 원점으로 이을수밖에 없습니다. 원점에서부터 잇는다면 딱 수직거리가 2배가 될텐데, 원점보다 조금이라도 위나 아래에 있다면 딱 2배가 나올 수 없겠죠. 

수식적으로 해도 나오긴 합니다만, 이걸 보자마자 인지했다면 시간을 확 줄일 수 있습니다. 참고로 재작년 수능 날 문제 공개되고 이 문제를 처음 풀 때에도 전 이렇게 풀었습니다. 절대 사후적인 풀이가 아닙니다.

여기까지 이해하셨다면 1번 테마는 잘 받아들이신 겁니다. 남겨두면 찝찝하니까 문제는 끝까지 풀고 갈게요.

직선 식 세운 뒤, 그 직선이 지나는 점 대입한겁니다. 답은 2번이네요. 어떻게 정리해야 저렇게 나오는지 이해가 안 되신다면 댓글 보십시요. 상세한 풀이 올려뒀습니다.  

2. 지수함수와 로그함수의 관계

역함수 관계라는 건 누구나 알겠죠. 중요한 건 얼마나 그 성질을 잘 써먹냐에요.

풀진 않을 건데, 아래 문제를 한 번 봅시다. 22학년도 9월 모의평가(21년도 시행) 기출입니다.

 보자마자 둘은 y=x-1에 대해 대칭임이 보여야 합니다. 이와 같이 대칭선이 y=x가 아닐수도 있습니다. 

대칭선과, 두 함수가 다 평행이동된 경우에도 대칭선을 잘 인지해야 하는 것이죠. 

여기서 의문이 생길 수 있습니다. 어떻게 평행이동하더라도 지수함수와 로그함수는 대칭관계에 있을까요?

그렇지 않습니다.

특정 궤도를 따라 움직여야만 선대칭 관계가 성립합니다.  

이게 2번 테마의 핵심 개념입니다. 

설명 편의상 밑이 1보다 큰 경우만 다루겠습니다.

이 문장을 이해하기 위해서는 대칭선의 성질을 먼저 알아야 합니다. 대칭선의 기울기는 반드시 1입니다.

어떻게 한 번 잘... 그려보면 기울기 1/2인 직선에 대해 대칭이 되지 않을까?

따위가 아니라는 겁니다. 무조건 1이어야 합니다. 이유는 다음과 같습니다.

선대칭이라는 것은 대칭선에 대해 접었을 때 두 함수가 완전히 겹쳐지는 것을 의미합니다. 그런데 지수함수와 로그함수의 점근선이 각각 x축, y축에 평행합니다. 기울기가 1/2인 직선에 대해 접었을 때 점근선은 절대 겹쳐질 수 없고, 그 뜻은 지수함수와 로그함수도 겹쳐지지 않는다는 뜻이겠죠. 점근선이 다르다면 다른 곳으로 함수가 수렴하는 셈이니까요.

두 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1이어야만 점근선, 그리고 함수가 완전히 겹쳐집니다. 

한편, 두 점근선은 반드시 교점을 가집니다. 그 교점을 지나며 기울기가 1이면 전부 대칭선 역할을 할 수 있는 것일까요? 그렇지 않습니다.

아니라는 것은 이 예시를 통해 바로 이해하실 수 있을 겁니다. 

아주 까다로운 조건을 만족해야 선대칭을 유지하는데요, 두 함수의 상대적 이동이 y=-x를 따라가야 한다는 것입니다.

선대칭 관계를 유지하면서 로그함수를 평행이동하고 싶은 상황이라 해봅시다.

위 그림에 있는 초록색 그래프는 대칭관계를 유지하게끔 평행이동한 결과물들인데요, 그림에 그려진 느낌대로 y=-x를 따라서 로그함수가 움직여야만 대칭이 유지가 됩니다.

"y=-x를 따라서"라는 말은 수식적으로는 다음과 같이 받아들이면 됩니다.

로그함수를 오른쪽으로 6만큼 이동시켰다면, 아래로도 6만큼을 이동!

이때 대칭선이 어디로 갔는지도 바로 구할 수 있습니다. y=x-6이 되는데요,

기존의 로그함수 오른쪽으로 6, 아래로 6만큼 갔으니 대칭선은 그 절반인 오른쪽으로 3, 아래로 3만큼 가줘야 하는 것입니다. (시각적으로 연상하시면서 따라오세요!) 그래서 결과적으로 y=(x-3)-3=x-6이 되는 것이죠.

너무 당연한 내용이라 필요할까 싶긴 하지만 굳이 일반화 하자면

로그함수를 x축방향 n, y축 방향 n만큼 평행이동했다면 대칭선은 y=x-n이라고 할 수 있겠네요. 로그함수가 아니라 지수함수여도 마찬가지구요. 

이 개념을 모두 담고 있는 아주 훌륭한 문제가 하나 있습니다. 훌륭하군요

보자마자 m은 -4, a는 1, b=-4가 보이시죠?

답은 12입니다.

2번 테마 내용은 여기까지 입니다.

또 하나의 훌륭한 문제 링크를 남기면서 마무리하겠습니다.

(같은 링크에요. 터치하기 편하라고 여러 개 둠)

https://orbi.kr/00061826289

https://orbi.kr/00061826289

https://orbi.kr/00061826289

제 글 중 처음으로 메인 갔던, 그리고 팔로워를 거의 100명을 늘려준 개인적으로 고마운 문제입니다 ㅎㅎ

3. 지수로그와 직선

 지금까지 읽으시느라 수고 많으셨습니다. 3번은 짧아요 애초에 깊은 내용이 없어서 그렇습니다.

요즘 기출이 지수로그 함수와 직선을 함께 내고 있는데요, 이런 유형은 정형화된 풀이법이 있습니다. 그래서 한 번만 제대로 익혀두면 앞으로 틀릴 일이 없어요!

기억하셔야 할 것은 하나입니다.

지수로그함수와 다항함수로 이루어진 방정식은 풀 수 없다.

근데 둘이 섞여서 나온 연립 방정식은 지수로그함수를 모두 다항함수로 바꿔줘야 하는거죠. 예시 하나면 충분할 것 같습니다. 

제가 만든건 아니고 사설 문제에서 핵심만 뽑아서 숫자만 바꿔봤습니다. 정신 안 차리면 훅가는(?) 문제입니다. 분명 당황하신 분들도 있을거에요. 당황했을 때는, 아까 강조드린 것만 떠올리시면 됩니다. 둘이 같이 있으면 절대 못 풀어요. 하나로(이왕이면 다항함수로) 몰고가야 해요. 

답은 54입니다. 모르겠으면 댓글에 질문!

올 한 해 공부하시면서 볼 이런 유형의 계산은 근본적으로 위 예시와 전부 같습니다. 강조드린 것만 기억하시면 문제 없을겁니다.

이렇게 오래 쓸 줄 몰랐는데 한 4시간동안 쓰고 있었던 거 같네요. 메인갈 수 있게 좋아요 눌러주시고, 팔로우 안 하신 분들은 팔로우도 부탁드립니다. 앞으로도 인상적인 칼럼과 자작문제 많이 올리겠습니다ㅎㅎ