칼럼9) 안 보면 ㄹㅇ 손해인 사차함수 무민공식

고2 시절 수2 처음 공부할 때 만들어둔 건데, 진짜 개꿀이라 여러분들께도 소개해드리고자 합니다.

이런 접근 방식을 만든게 제가 처음이 아닐수도 있지만, 많이 알려지지 않았다는 건 확실한 거 같아서 좀 싸가지 없지만 무민공식이라 이름 붙였습니다. ㅋㅋㅋㅋ

주제는 사차함수의 공통접선입니다. 정말 높은 퀄리티를 가진 칼럼이라 자부합니다. 

그럼 다들 알만한 부분부터 가볍게 시작해보겠습니다.

1. 공통접선이란?

다음과 같이 두 점에서 접하는 접선을 공통접선이라 부르겠습니다.

차이함수를 써본다면 다음과 같이 되겠죠.

p는 f(x)의 최고차항 계수입니다.

이때 재밌는 특징이 하나 있는데요, 

다음과 같이 x좌표가 알파와 베타의 중간인 곳에서 사차함수의 접선이 g(x)와 기울기가 같다는 점입니다. 이는 f-g함수를 그려놓으면 자명하게 느껴질겁니다. (여기선 생략)

한편, 사차함수는 늘 공통접선을 가질까요? 그건 아닙니다. 변곡점이 존재하는 사차함수만 공통접선을 가집니다.

수식적으로 증명이 가능한데요, 그 전에 직관적으로 이게 맞다는게 느껴집니다.

왼쪽과 같이 변곡점이 있는 경우에는 일단 아무데다가 접선을 그어둔 뒤에, 접점을 조금씩 오른쪽으로 옮기면서... 접선을 살살 옮겨주다보면 두 봉우리에 탁 걸치는 부분이 생깁니다. 사차함수가 조금이라도 꿀렁이는 부분이 있다면 무조건 직선이 걸쳐질 수 있겠죠.

반면 오른쪽 경우에는 함수가 계속 아래로 볼록하게 그려지기에 걸쳐질 봉우리가 없습니다.

당연히 수식적으로 증명 가능합니다! "사차함수의 변곡점이 존재한다"와 "공통접선이 존재한다"는 필요충분조건이에요. 하지만 수식적 증명은 재미없으니 넘길게요.

이제 공통접선이 뭘 말하는지, 언제 존재하는지 알았으니 얘를 구하는 방법을 알아봅시다.

2. 공통접선 구하기(무민공식)

(1) 삼차항 계수가 0인 경우

g(x)의 식을 구해야 하는 상황에서, 어떻게 계산하실 건가요?

근과 계수의 관계를 쓴다...근을 -n,n으로 잡는다 등 다양한 접근 방법이 있겠지만, 아마도 가장 빠른 방법은 이걸겁니다.

"보자마자 g(x)는 y=10x+2 !!"

어떻게 바로 나왔을까요? y=10x+2를 사차함수 식에서 빼봅시다. 그러면 

x제곱에 대한 완전제곱식이 나옵니다. 풀어보면 (x-1)제곱 곱하기 (x+1)제곱이 됩니다. -1하고 1을 각각 두 번씩 근으로 가지네요.  y=10x+2는 공통접선이 맞습니다.

일반화를 해보겠습니다.

삼차항의 계수가 없다면, f-g의 네 근은 n,n, -n,-n일 텐데요 (근과 계수의 관계에 의해서 말이죠. 합이 0이어야 하니까요.) 이는 x제곱에 대한 완전제곱꼴로 나와야 함을 의미합니다. 

그럼 우선 해줄 일은 일차항계수를 없애주는거겠죠? x제곱에 대한 완전제곱식이 일차항 계수를 가질 수는 없으니까요. 위 예시의 사차함수에서 일차항 계수가 10이므로 공통접선의 기울기를 바로 10으로 잡는겁니다. 그 뒤에는 상수항을 결정해줘야 하는데, 상수항을 결정하는건 사차함수의 이차항의 계수입니다. f-g의 식이 완전제곱식이 되게 하는 상수항을 찾아주면 되겠죠.

여기에 재밌는 해석 하나를 더해보겠습니다. 앞서 소개드린 이 내용을 기억하고 계실겁니다. 

근데 삼차항 계수가 없다면 베타=-알파이고, 둘의 x좌표 중점은 0이 되겠네요. 즉 공통접선의 기울기와 f(x)의 0에서의 미분계수가 같은 값을 가진다는겁니다. f(x)의 0에서의 미분계수는 곧 일차항의 계수를 의미하는데요, 아까 이런 내용 봤었죠! 앞선 예시에서 공통접선의 기울기를 바로 f(x)의 일차항 계수인 10으로 잡아줬는데, 그래프로 보면 사실 이런 의미를 담고 있었던 겁니다. 수식적으로 보면 x제곱의 완전제곱식을 만들어주기 위해 없애줘야 했던거구요.

한편, 이를 활용해서 공통접선이 존재하지 않는 사차함수도 바로 읽어낼 수 있어요. 예를 들어

이 사차함수에다가 지금껏 배운 내용을 적용해봅시다. 배운대로라면 공통접선 식은 임이 바로 보이죠? 이걸 뺴면 완전제곱식이 나오니까요. 그런데 문제가 생겼습니다. 둘이 빼면

이렇게 되는데, x제곱이 -2인 실수는 존재하지 않아요. 따라서 이 사차함수는 공통접선을 가지지 못하는 겁니다. 이쯤에서 서두에 말씀드린 지식 하나가 떠오르실겁니다.  "사차함수의 변곡점이 존재한다"와 "공통접선이 존재한다"는 필요충분조건이라고 했었죠. 즉 이 함수는 변곡점이 없는 함수입니다. 

삼차항 계수가 0일 때 이차항 계수가 양수라면 그 함수는 변곡점이 없겠네요. 이처럼 이 개념은 함수의 변곡점 판단을 할 때에도 사용될 수 있습니다.

(2) 삼차항의 계수가 0이 아닌 경우

는 나올 확률이 거의 없다고 봅니다. 그 이유는 이 경우에 일반적인 방식으로 공통접선을 구하려면 계산 때문에 사실상 못 풉니다. 그래서 그렇게 중요하다고 생각하진 않지만, 간략하게 소개해드리겠습니다. 아 이렇게 하면 되긴 하겠구나~ 느끼실 수 있게 말이죠.

근본적 원리는 아까와 같습니다. 삼차항 계수가 있다고 한들, 삼차항 계수가 0인 어떤 사차함수를 평행이동한 것에 불과해요. 그래서 이 평행이동에 초점을 맞추어 식을 써줄 겁니다. 이때 삼차항 계수가 굉장히 중요해지는데요, 얼만큼 평행이동했는지를 삼차항을 기준으로 잡을 것이기 때문입니다. 아래 사진을 보시겠습니다.

사차함수가 이런 식으로 주어져있다고 합시다. 

식을 변형해줍니다. (아 이건 아니다 싶으면 아래 식 읽지 말고 일단 조금만 내리세요)

? ㅋㅋㅋ

공통접선이 

임이 보이기는 하는데... 파스칼의 삼각형도 익숙해야 하고 뭐 이건 뇌절이네요. 안 나오다고 치고 없던 일로 합시다.

여기까지가 준비한 내용입니다. 정말 여기저기에 유용하게 쓰이는, 사차함수의 공통접선을 바라보는 관점입니다.

혹시나 이게 수험판에 널리 알려진 내용일까봐 확인을 해봤는데요

다행히 아닌 듯 합니다. (마지막엔 살짝 자랑도 넣어봤어요 ㅎㅅㅎ)

전 다음에 또 좋은 주제를 들고 올게요. 도움이 되셨다면 좋아요 부탁드리고, 팔로우하시면 퀄리티 있는 자작문제와 칼럼을 놓치지 않고 확인하실 수 있습니다!