[물리] 수특 특상 시계 문제 ★완벽★ 해설
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올해 수특 특상 파트가 상당히 어렵게 나왔는데요.
시간 지연과 동시성의 상대성을 제대로 이해하면 의외로 쉽게 풀 수 있습니다.
개념부터 정리한 다음 문제를 풀어봅시다.
[기본 개념] 시간 지연은 “어떤 두 사건을 동시로 보는가”에 따라 결정된다.
시간 지연에 대해 설명하라고 하면 이렇게 대답하는 학생들이 많습니다.
“움직이는 물체의 시간이 느리게 간다”
그런데 A가 볼 때 B가 움직이면 B가 볼 때는 A가 움직이는 거겠죠. 그럼 대체 누구의 시간이 더 느리게 가는 걸까요?
상대성이론을 꽤나 공부한 학생이라면 이렇게 대답할 겁니다.
“그야 누가 보는가에 따라 다르겠죠. A가 보면 B의 시간이 느리게 갈 것이고, B가 볼 때는 A의 시간이 느리게 가겠죠.”
조금 더 깊게 들어가봅시다. A가 볼 때 B의 시간이 느리게 흐른다는 것은 어떤 뜻일까요?
A와 B의 시계를 각각 a, b 라고 하겠습니다. 서로에 대해 움직이고 있는 두 사람 A와 B가 같은 위치에서 각각의 시계가 0초인 상태로 만난다고 해봅시다.
A의 입장에서 “a가 10초를 가리키는 사건”과 “b가 10초를 가리키는 사건”은 동시가 아닙니다. “a가 10초를 가리키는 사건”이 먼저 일어나게 되겠죠. 이 때 시계 b는 아직 10초를 가리키기 전입니다. 5초라고 가정 해볼게요.
(왜 A 입장에서 “a 10초” 사건이 더 먼저 일어나는가에 대해서는 이전 칼럼을 참고하세요.)
A의 입장에서 “a 10초”는 “b 5초”와 동시입니다.
한편, B의 입장에서는 “b가 10초를 가리키는 사건”이 먼저 일어나게 되겠죠. 이때 a는 5초를 가리키고 있습니다. a가 10초일 때 b는 20초를 가리키게 됩니다.
B의 입장에서 “a 10초”는 “b 20초”와 동시입니다.
[심화 개념] 한 관찰자가 볼 때 동시에 같은 위치에서 일어난 사건은 동일한 사건이다. 따라서 누가 보더라도 동시에 같은 위치에서 일어난다.
예시 1) 머리 위로 지나가는 야구공을 손을 뻗어서 잡는다고 해봅시다. “머리 위로 야구공이 지나가는 사건”과 “손을 위로 뻗는 사건”은 누가 보더라도 동시에 같은 위치에서 일어나야만 합니다. 만약 다른 위치에서 일어나거나 동시가 아니라면 관찰자에 따라서는 공을 못 잡게 된다는 건데 말이 안 되겠죠.
예시 2) 아주 얇은 종이를 수직으로 고정 해놓은 채로 양쪽에서 종이를 향해 망치를 휘둘러 봅시다. 가만히 서 있는 사람 A가 볼 때 망치가 종이에 동시에 부딪히면서 종이는 움직이지 않았다고 해볼게요. 움직이는 사람 B가 볼 때 두 망치 중에서 하나라도 먼저 종이에 부딪힌다면 종이는 찢어지고 말겠죠. 결국 두 망치가 종이에 부딪히는 사건은 누가 보더라도 동시에 같은 위치에서 일어나야 합니다.
예시 3) 사람 A가 기준선 P를 지나는 순간 A의 시계가 t초를 가리키고 있다고 합니다. “A가 기준선 P를 지나는 사건”과 “A의 시계가 t초를 가리키는 사건”은 누가 봐도 동시에 같은 위치에서 일어납니다. 움직이는 관찰자 B가 볼 때에도 A가 P를 지나는 순간 A의 시계는 t초입니다.
참고로 수특에서는 동시에 같은 위치에서 일어난 사건을 ‘동시 사건’이라고 부르고 있지만 제 생각에는 ‘동일 사건’이라고 부르는 게 더 적절합니다. 다른 위치에서 동시에 일어난 사건이라면 관찰자에 따라서 동시가 아닐 수 있기 때문입니다.
[89p 4번 해설]
B가 볼 때 “B가 타고 있는 우주선이 P를 지나는 사건”과 “B의 시계가 4t를 가리키는 사건”은 동시에 같은 위치에서 발생한 사건입니다.
따라서 A가 볼 때도 “B가 타고 있는 우주선이 P를 지나는 사건”과 “B의 시계가 4t를 가리키는 사건”은 동시에 같은 위치에서 발생합니다. 따라서 (ㄱ)은 4t입니다.
해설이 와 닿지 않으면 앞서 설명한 예시 1~3을 다시 생각해보세요.
A의 입장에서 B의 시계가 4t일 때 자신(A)의 시계는 8t입니다. B의 시계가 1/2배 느리게 흐르는 것처럼 보이네요. B의 입장에서는 A의 시계가 1/2배 느리게 흐르는 것처럼 보일 테니 자신(B)의 시계가 4t일 때 A의 시계는 2t입니다. 따라서 (ㄴ)은 2t 입니다.
[91p 7번 해설]
사건 1 = “우주선이 B를 스친다”
사건 2 = “B의 시계 b가 t초를 가리킨다”
사건 3 = “C의 시계 c가 1/3t초를 가리킨다”
A가 볼 때 사건 1과 사건 3은 동시에 같은 위치에서 일어난 동일 사건입니다. 따라서 누가 보더라도 사건 1과 사건 3은 동시에 같은 위치에서 일어납니다.
C가 볼 때 사건 1과 사건 2는 동시에 같은 위치에서 일어난 동일 사건입니다. 따라서 누가 보더라도 사건 2과 사건 3은 동시에 같은 위치에서 일어납니다.
결국 누가 보더라도 우주선이 B를 지나는 순간 b는 t초이고, c는 1/3t초입니다. 따라서 (ㄱ)은 t, (ㄷ)은 1/3t 겠네요.
이제 (ㄴ)을 생각해봅시다. A의 입장에서 a가 t초일 때 b도 t초이니까 동시에 일어났네요. 동일 사건이니까 (ㄴ) 역시 t초입니다.
…
라고 생각한다면 낚이셨습니다. A 입장에서 “a가 t초”인 사건과 “b가 t초”인 사건은 동시에 일어났지만 같은 위치가 아닙니다. 따라서 관찰자에 따라서 동시에 일어나지 않을 수 있습니다.
이제 시간 지연을 생각해봐야 합니다. A와 C가 스치는 순간 각자의 시계를 0초 맞춰 놓았었죠. A의 입장에서 자신(A)의 시계가 t초일 때 C의 시계는 1/3t초를 가리키고 있네요. 즉, C의 시계가 1/3배 만큼 느리게 갑니다.
그럼 C가 볼 때도 A의 시계가 1/3배 만큼 느리게 가겠죠? 따라서 C 입장에서 c가 1/3t 일 때 a는 1/9t를 가리킵니다.
여기서 잠깐 멈추고 천천히 생각해봅시다. A 입장에서는 시계 a, b가 동시에 t초를 가리키는데 C 입장에서는 a가 1/9t일 때 b는 t를 가리키고 있네요. 왜 C 입장에서는 동시가 아닐까요?
이게 바로 그 유명한 ‘동시성의 상대성’입니다.
이 때 헷갈리면 안 되는 게 있습니다. C 입장에서 시계 a, b가 다른 속도로 흐른다는 뜻은 절대 아닙니다. 시계 a, b의 고유 시간은 동일하고 C가 느끼는 시간 지연의 비율 또한 동일합니다. 다만, A가 볼 때 정확하게 같은 시각을 가리키고 있던 시계 a, b가 C가 볼 때는 영점이 어긋나 있을 뿐인 거죠.
C 입장에서 우주선이 A를 지날 때부터 B를 지날 때까지 시계 a는 1/9t 만큼 흘렀습니다. 당연히 시계 b도 1/9t 만큼 흘렀을 겁니다. 1/9t 만큼 흐른 후의 시간이 t니까 우주선이 A를 지날 때는 b가 8/9t를 가리키고 있었습니다.
끝.
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와미친ㅋㅋㅋㅋㅋ 안풀어봤었는데 세상 어렵네요..
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진심 개 벽느낌
오펜하이머딩거 선생님.
다음 칼럼을 기다리고 있습니다 사랑합니다