다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://wwww.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
새로운거 하고싶어 색다르게 살고싶어 ㅠㅡㅠ
-
누구는 오이만 키워도 고사로 남아서 고전에서 잊을만하면 소환해주는데 인생 날먹 ㅅㅂ
-
아 4
수학 잘하고싶다 수학황이되고싶다 씨빨!!
-
. 9
.
-
반갑습니다 6
-
쪽지할 사람 9
미자 제외 미자랑 할 얘기가 입시 얘기 밖에 없어서 좀 그럼ㅠ ㅈㅅ
-
초중딩때 겁나 열심히 봤는데 코로나이후로 안보기시작함... 근데 요즘 또 성황인거...
-
닭볶음탕 이라서 ㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋ엌ㅋㅋㄱㅋㅋㅋ
-
딱 작수스러운거 같음....
-
중심별 < 행성인 이유 v = r(오메가) 공식으로 이해해도 맞나요? 각속도 같은데...
-
뭔가 읽어도 읽어도 끝이없다는 느낌도 받고... 한 반 쯤 오면 슬슬 앞에 내용이...
-
요즘 조금 외로운 듯 얼른 수능 치고 연애 하고 싶다 후유...
-
너무해 7
다들 나 놀림 흥! 진짜 떠나서 영영 안돌아올거
-
작년부터 애용 중. 올해 수능 보기 전까지 아껴먹을 예정
-
ㅈㄱㄴ 에휴
-
문과 올1 1
1컷 1컷 2 1 1 이면 고려대 가능한가요?
-
9번부터 안풀리는데
-
웅플릭스 보고 5
연논기출 하나 풀고 샤인미 미적 풀기
-
완전 쌩노베에요 진짜 암것도 모르는 수준인데 보통 한국사는 언제부터 시작하죠?...
-
수탐은 항상 다 맞는다는 걸 목표로 하고 공부할 것 8
최저러아니고 정시라면 저게 맞음
-
지구과학 N제 2
지금 이신혁 라이브 들으면서 모고 치고 있는데 아폴로는 너무 과하다는 느낌이 들어서...
-
프사 추천받음 7
너무 이상한거만 아니면 괜찮음
-
한학기동안 수시 자소서 6개 쓰는것도 벌벌떨던 내가 3
하루에 자소서 2개씩 써서 날리는 개백수 취준생으로 진화했다?! 뿌쓩빠쓩삐쓩
-
고려대 3
붙여만 주십시오@@@@ 12월 26일 마지막날 까지 9광탈인줄 알고 심장이 쫄려...
-
시발 한번만 도와줘요 헷갈려요ㅠㅠ 나같은 문과생에게 화학이란 ㅠ HCl 같은 경우...
-
진짜루 안뇽 8
내일 또 나 들어오면 걍 죽여
-
다르다 가성비는 딱100점이 좋겠지만 변수를 생각한다면 (가능하다는 전제 하에)...
-
수학 문제집 0
이미지 선생님 커리 타고 있고 현재 이미지 모의고사 시즌1까지 함
-
한지문당 하나씩 틀림 각 지문당 7분7분7분5분걸림 이거 기만임?
-
1일 1실모(강x,서바,킬캠,시간남으면 다른거) 하프모 매일 1개...
-
너네만 없애면...
-
우린 존나 했지. n수
-
입금용 5
-
뭔가 단두대로 끌려가는 기분
-
설맞이 이번주 안으로 끝날거같은데 이해원 시즌1 좋았어서.. 시즌2도 풀어보고...
-
마지막으로 올리고 감 룰루
-
현실과 타협해서 생1 지1 하고 생명은 좋은대학에서 공부하기로 결심했어요
-
김동욱vs강민철 6
두분이 어떤스타일이신가요 각각 누가 듣는게 효과가 좋을지 고민이네요...
-
오르비 클래스를 포기할 것이냐 탈릅을 통해 현생을 살것이냐 고민된다 우만수 들어야 되는데
-
글로벌 경영 경제 같은 거는 3합 6 탐탐인데 충족률이 어느정도 일까여?? ebs...
-
난 혼자서 머리 싸매고 개오래걸려서 풀었는데..
-
오늘의 연계는 수필인 (다) 조위-입니다. 특히 26번은 작년 9모의 문의당기와...
-
메인글에 대해 0
https://orbi.kr/00069221349 의료윤리 딜레마가 답이 있는 것은...
-
❤️팡팡❤️ 5
이라는 말은
-
아 공하싫 0
-
♥원광치♥ 2
♥원광치♥팡팡치팡팡팡팡♥원광치♥팡팡치팡팡팡팡♥원광치♥팡팡치팡팡팡팡♥원광치♥팡팡치팡팡팡...
-
ㅇㅇㅇ
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다