23학년도 수능 기하 30번 공간벡터로 풀기
게시글 주소: https://wwww.orbi.kr/00070921386
삼각형 PQR의 넓이와, 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 알면 됩니다.
무슨 이유에서인지 점의 레이블을 걸어주지 않았습니다;;
당황스러우니 먼저 정하죠.(윗꼭짓점-밑면 삼각형 반시계방향 순으로 쓰는 것이 보통 일반적입니다.)
먼저 삼각형 PQR의 넓이를 먼저 구하겠습니다.
정사면체 ABCD와 정사면체 APQR는 닮음입니다.
따라서 삼각형 BCD와 삼각형 PQR은 닮음입니다.
(참고로 입체도형의 닮음비와 평면도형의 닮음비는 같습니다.)
그러므로 삼각형 BCD의 넓이와 두 정사면체 사이의 닮음비를 안다면 '넓이비=닮음비 제곱'을 이용하여 삼각형 PQR의 넓이를 구할 수 있습니다.
정삼각형의 경우 외심이 곧 무게중심입니다.
그리고 이 외심은 문제에서 주어진대로 구 S의 중심이므로 점 P와 점 O를 이어준 길이는 곧 반지름이 됩니다.
따라서 이등변 삼각형의 이미지가 나오게 되고 우리는 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 작도할 수 있습니다.
그런 다음 반지름에 정사면체에서 직선과 밑면이 이루는 각의 코사인을 곱하여 윗 그림과 같이 결국 AP의 길이를 알 수 있게 됩니다. 따라서 두 정사면체의 닮음비는 AP:AB=1:3입니다. 이것이 곧 삼각형 PQR과 삼각형 BCD의 닮음비이므로 둘의 넓이비는 1:9가 됩니다. 따라서 삼각형 BCD의 넓이를 9로 나눠준 값이 삼각형 PQR의 넓이가 되겠네요^^
구해주면(윗 그림 참고) 
이제 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 구합시다.
그런데 평면 α는 구에 접하는 평면이므로 법선이 확실하게 보장되어있습니다. 따라서 이면각을 교선을 찾아 그대로 보기 보다는 법선과 법선이 이루는 각으로 봐도 상관이 없습니다. 즉 두 평면에 대한 법선벡터를 성분화할수만 있다면 내적을 통해 cosθ를 쉽게 구할 수 있는 것이죠.
성분과 좌표는 동일한 것이 아니지만 정사면체에서는 다음과 같이 좌표를 잡는것이 가능합니다.
좌표는 분수가 안나오도록 세팅하는 것이 관건입니다.(굳이 구의 반지름이 6이라는 것에 집착할 필요 없어요. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하여 다 닮음인 공간도형이므로 법선벡터끼리는 평행합니다.)
아무래도 삼등분점 상황, 무게중심을 구할때 3으로 나누는 것, 최소 단위의 숫자를 사용할 것을 모두 감안하게 되면 단위값을 3으로 설정하는 것이 좋습니다.
이제 각 평면에 대한 법선벡터를 구해 볼게요.
먼저 평면 PQR에 대한 법선벡터는 그냥 (1,1,1)로 잡으시면 됩니다. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하는 모든 정사면체의 법선벡터는 가장 간단하게 표현할시 (1,1,1)이 될 수 밖에 없습니다.
이제 평면 α에 대한 법선벡터를 구해봅니다. 구에 접하는 평면이므로 그 법선벡터를 알려면 구의 중심과 접점에 대한 정보가 필요합니다. 따라서 구의 중심은 (2,2,2), 접점은 (1,1,0)이므로 빼주면 법벡은 (1,1,2)
내적을 통해 cosθ를 구해주면 
따라서 정사영은 
제곱해주면 답은 24.
봐주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이제 고3되는 07입니다 무불개 현강 들을려고 하고 있어서 OT를 들었는데 너무...
-
바보도 아니고 ㅋㅋ 더 좋은데 써서 좋은곳에서 여친도 만들고 야스도 하고 행복해라 얘들아
-
-
23수능 47점이었고 그때 윤성훈t 수강했었습니다 이번에도 윤성훈t들을 예정인데...
-
경북대 상위과 60명 정도 뽑는 과를 쓰려고하는데 5칸 중상위권을 붙는다고 생각하고...
-
난 걍 다까는데
-
이정도 정성으로 공부를 했더라면 그냥 붙여주
-
이제글써도아무도답을안해줌 ㅅㅂ
-
2학기 개강이 9월이네
-
원광치 안정 경희한 제외 모두 안정 영어.. 챙겨야겠지..?
-
마지막 원서 갈겨야지
-
지거국은 고속이 더 정확하다는데 맞나요?
-
박 제 0
.
-
경 vs 건 4
경희대 자유전공(국제) 건국대 전기전자 경희대는 통학불가능임요 기숙필수 건국은...
-
저는 내일써야해요
-
-
작년에 추합 몇바퀴 돌았는지 추합률 어디서 봐요?! 4
대학어디가에서 봤던 것 같은데 어디로 들어가야되는지를 모르겠음요ㅜㅜㅜ 제발도와줘..
-
분명 죄다 3 골랐는데
-
-
[고려대학교 25학번 합격] 합격자를 위한 고려대 25 단톡방을 소개합니다. 0
고려대 25학번 합격자를 위한 고려대 클루x노크 오픈채팅방을 소개합니다. 24학번...
-
이상한글 쓴적 없음
-
너무나도 어려워 내가 할 게 못 돼 아니 버튼이 도대체 어디있는거야 망할
-
근데 해도 나는 오루비에사도 아싸라서 옵스타팔로워도안생길듯
-
아니 진짜 모름
-
지금 운동하면서 살 찌워볼까 생각 중인데 의미 없는 행동인가
-
-
후훟
-
자야겠다 1
생각해보니까 낼 출근이네 ㅂㅂ
-
원서접수 완 7
대문범은 과연 가군에 어디를 썼을까...?
-
칸수 떡락기원 6
제발 짜게주세요
-
이딴거뜸;
-
ㄷㄷㄷㄷㄷㄷ
-
정리“해줘”
-
카톡으로 원서 접수 되었다고 오면 접수 된건가요? 그리고 진학 어플라이에 서류 도착...
-
개정 후 현우진 시발점 수2(아마 미적분1)을 듣고 싶은데 위에서 3번째 거...
-
뭐 들을까요 둘 다 기본개념+실전개념 같은디.. 수학 높4나어고 통통이임뇨
-
고대 상경이요
-
냥대 스나 0
냥대 표본분석 ㅈㄴ해서 국문으로 고른건데 시립대는 안전하겠죠?
-
왜 아무도 언급이없지 응통이랑 비교하면어떰
-
국어를 수탐에 비해 많이 못봐서 외대글캠은 이과로 씁니다 인천대는 이과로 교차가...
-
-
오늘 오르비를 보고 더 깨달음뇨
-
칸수 떨구면 그거대로 힘들고 올라도 오른대로 힘들고 응..
-
-
지금 누구 쓰러지는 꼴 보고싶어서 이래?
-
유대종 인셉션 본교재로 수업 ch1을 듣고 나서 정확히 숙제(?)로 뭘 풀어야...
-
방학때 동남아에 한달정도 잇엇는데 거기 형들하고 친해져서 장난치다가 왁스? 무스?를...
-
제가 예비고3인데 국어공부를 어떻게 해야할지 도통 모르겠어서 질문합니다. 글 읽고...
-
이대 미팅 7
해보신 분 있나요 ..?..? 아님 친구분들 중에 이화여대 친구 있으신 분들.....
-
경제 하나만 더 맞히고 지균썼으면 인문 갔네 나왜재수함
고능아
감사합니당
않이..
저는그냥 선 찍찍 긋고 풀래요
기하는 알아도 기벡은 잘 몰루..
사실 제가 푼 풀이는 굉장히 돌아간 풀이에여. 마지막처리 과정에서 길이 다 알 수 있으니 그냥 코사인 법칙 쓰면 됨 ㅋㅋ
그냥 정사면체 좌표 잡는거 적용해서 풀려고 억지로 공간벡터를 사용한 감이 있죠.